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L’arte di piegare la carta si designa in tutto il mondo con il termine giapponese usato per indicare questa attività: Origami.

L’origami è un’arte che fa parte della cultura tradizionale giapponese e che, a quanto sembra, ebbe origine con l’invenzione della carta in Cina, tra il I e il II secolo: invenzione che giunse in Giappone verso il VI secolo. Riservata da principio alle classi elevate, a causa del prezzo proibitivo della carta, visse una fase di grande diffusione dopo il calo del suo costo fra il Seicento e il Settecento, momento che può essere simboleggiato con la comparsa nella cultura giapponese di un uccello di carta, equivalente alla gru.

L’attività di piegare la carta è perfetta sia come espressione di arte, che diventa raffinata nell’origami, sia come passatempo rilassante, sia come oggetto di studi geometrici e matematici, e, soprattutto, come strumento di matematica ludica. Diverse facoltà di matematica e ingegneria dispongono di un dipartimento dedicato alla ricerca in campo dell’origami, di cui forse il più rinomato è quello del California Istitute of Technology (CalTech). Attraverso gli origami, o semplicemente attraverso l’attività di piegare la carta, è possibile fare esperimenti matematici e dimostrazioni geometriche, con costruzioni spesso stupefacenti. Dal punto di vista geometrico, piegare la carta vuol dire usare una “riga”e un “compasso” un po’ particolari e dà ulteriori possibilità di costruzione geometrica. Un’attività formalizzata con un sistema di assiomi dovuto a B. Scimemi, H. Huzita e K. Hatori. Tali concetti sono di approccio concreto alla rappresentazione della geometria, in questo caso limitata al solo foglio di carta, ma introducono alla fase ideale ed astratta della geometria.

Qualche premessa

Quello che tratteremo qui è la possibilità di introdurre la geometria attraverso l’attività di piegare la carta, dimostrando ed evidenziando alcune proprietà geometriche. Quello che occorre è solo un foglio rettangolare (va benissimo l’A4, ma qualsiasi foglio si presta all’uso) e pennarelli o matite.

Iniziamo col dire che un foglio di carta, così com’è, rappresenta un piano (Fig.1).

 

 

 

 

 

 

Piegando il foglio, in un qualunque punto, viene a crearsi una retta (Fig.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

e il foglio si divide in due semipiani. Il segno che la piega lascia nel foglio è di per sé la traccia in questione, ma potremmo avere bisogno di metterla in risalto: si può allora passare un pennarello sulla traccia della piega, formata dai due lembi del foglio tenuti parzialmente aperti. Se facciamo una seconda piega che incrocia quella precedente, vedremo che le due avranno un elemento in comune: il punto (Fig.3).

 

Queste due pieghe rappresentano rette incidenti ed avranno un solo punto in comune. Avremmo potuto scegliere anche altre pieghe che incontrino la precedente, quindi è possibile tracciare tantissime rette incidenti ad una retta data, in altrettanti punti di intersezione. Notiamo inoltre che, in un dato punto d’incidenza, possono passare tante altre rette, poiché potremo fare tante pieghe passanti in quel dato punto e sceglierne sempre una diversa da poter fare (Fig.4).

Questo ci permette di ipotizzare che: in un piano esistono infiniti punti; una retta possiede infiniti punti; per un punto passano infinite rette; data una retta, esistono punti del piano che non le appartengono. Ogni punto individuato su una piega la divide in due parti, ciascuna delle quali rappresenta una semiretta. Ogni volta che due pieghe si intersecano, generano 4 regioni angolari o, semplicemente, angoli.

 

 

 

 

 

La sfida

Detto questo, iniziamo il nostro gioco:

E’ possibile trasformare un foglio di carta rettangolare in un triangolo, piegandolo? E con quante pieghe?

 

Dopo un rapido sguardo e qualche istante di riflessione, saremo in grado di riuscirci semplicemente piegando un angolo del foglio: avremo ottenuto, così, un triangolo rettangolo, con, al minimo, un’unica piega.

La sfida che vi propongo è quella di riuscire ad ottenere un triangolo equilatero, vale a dire un triangolo che abbia tutti i lati uguali, con solo quattro piegature del foglio.

Per poter arrivare alla soluzione iniziamo a ragionare sulle caratteristiche del triangolo equilatero, della misura dei suoi lati e dei suoi angoli. Angoli uguali che, per un noto teorema di geometria (tale teorema afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°), sappiamo essere di 60°. Nel foglio rettangolare sono presenti solo angoli di 90°. Per poter ottenere un angolo di 60° bisogna dividere un angolo di 90° in 3 parti e prenderne 2. Ma come fare?

Una soluzione

Una possibile soluzione è questa:

1. per cominciare, occorre piegare il foglio a metà per il lungo, così che i suoi due lati lunghi vengano a coincidere. Avremo così una retta di riferimento. Riapriamolo e teniamolo aperto davanti a noi (Fig.5).
   

   Fig.5 Pieghiamo il foglio in due parti

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Pieghiamo l’angolo inferiore destro del foglio in modo che soddisfi contemporaneamente due esigenze: innanzi tutto il vertice inferiore destro deve andare a toccare la retta centrale di riferimento, poi la linea di piegatura deve passare per l’angolo inferiore sinistro (Fig.6).
   

   Fig.6 Portiamo il vertice destro sulla retta di riferimento

Il triangolo che ne risulta è rettangolo, e, le studentesse e gli studenti delle classi superiori potranno notare che è un triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°(ndr. perché?). Il cateto maggiore viene ad essere l’altezza del nostro triangolo equilatero, e cadrà nel punto medio della sua base, che si troverà sulla retta di riferimento.

1. Ora osserviamo il lato più breve del nostro triangolo. Immaginiamo di prolungarlo verso sinistra e pieghiamo il foglio lungo questa linea, in modo da far combaciare la piegatura con il bordo destro del foglio (Fig7)
   

   Fig.7 Pieghiamo lungo la linea del prolungamento del cateto minore

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1. Il nostro triangolo già si intravede: non resta che piegare la piccola parte che avanza a sinistra. Et voilà: un triangolo equilatero (Fig.8).
   

   Fig.8 Il triangolo equilatero è completo

Se apriamo il foglio e mettiamo in evidenza le linee, noteremo i triangoli generati, con i rispettivi angoli (Fig.9). Potrete misurare i lati e gli angoli per verificarlo.

 

 

 

 

Un’idea in più

Preparandone altri, potrete decorarli e colorarli a piacere, così da stimolare l’abilità creativa ed espressiva, unendo l’attività logico-matematica a quella artistica. Se accostate i lati di due triangoli, potrete ottenere una nuova figura geometrica: quale? Se invece accostate i vertici dei triangoli, potrete mettere molti più triangoli: quanti al massimo? Quale figura potrete ottenere? Cambiando di posto i vari triangoli equilateri, otterrete un caledoscopio di colori, davvero impressionante. Quante possibili combinazioni di poligoni diversi potremo ottenere?

 

 

PS Un’elegante dimostrazione del teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, è questa: piegate i vertici di un triangolo in modo da farli coincidere sulla base, come in figura (Fig.10).

La somma risultante è, evidentemente, un angolo piatto, c.v.d.

Francesco Attanasio

 

Bibliografia

Piega e spiega la matematica di Albrecht Beutelspacher e Marcus Wagner

Geometria con piegature della carta. Prima parte di Marina Rocco