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L’immagine originale del gioco della Torre di Hanoi

La Torre di Hanoi è un notissimo gioco commercializzato come giocattolo dal 1883 e inventato da un certo “Prof. N.Claus“(de Siam), mandarino del college di “Li-Sou-Stian“. Ben presto questo misterioso nome fu smascherato come anagramma di “Prof. Lucas” del college di “Saint Louis“, ovvero il famoso matematico francese François Édouard Anatole Lucas, noto per i suoi studi sulla teoria dei numeri.

La leggenda

La ditta che commercializzò il gioco ebbe la brillante idea di ricamare una storia leggendaria intorno all’origine del gioco:

«All’inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d’oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante sottili come un ago e sessantaquattro dischi d’oro purissimo di dimensioni decrescenti. Tutti i 64 dischi erano infilati nella prima colonnina e formavano la Torre di Brahma. Il compito dei monaci era quello di ricostruire la torre su un altra delle tre colonnine di diamanti, seguendo l’immutabile legge di Brahma: nessun disco può essere posato su un altro più piccolo. Così, ogni giorno ed ogni notte, senza fermarsi mai, i monaci del tempio obbediscono alla volontà di Brahma e, da allora, spostano uno alla volta i dischi d’oro, dalla prima alla terza colonnina. Ma il processo di spostamento dei dischi da una colonna all’altra è tuttora in corso…»

Come si gioca?

La Torre di Hanoi è straordinariamente semplice nelle sue regole tanto da catturare l’attenzione di grandi e piccini.

Modellino della Torre di Hanoi, photo Wikipedia

E’ composto da tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti. Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti i dischi su un paletto diverso, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo.
Nel web è possibile trovare una grande quantità di modellini in legno, plastica o cartone e versioni virtuali per giocare online.

La mia proposta

Oggi vi propongo una versione semplice per poter giocare a casa anche senza possedere il modellino o stampare alcun materiale. Abbiamo bisogno solo di un mazzo di carte: napoletane, francesi, o altro non fa differenza. Da questo mazzo prenderemo solo otto carte: dall’asso all’otto.
Sul tavolo sceglieremo tre punti che rappresentino i tre paletti: possiamo identificarli con tre fogli di carta, con un segno sopra un foglio, con tre tovaglioli, ecc.
Le regole sono sempre le stesse:

• all’inizio posizioniamo le carte sul primo punto.
• Spostando una carta alla volta, dobbiamo riuscire a ricostruire la pila nel terzo punto senza mai poggiare una carta con valore più grande su una carta con valore più piccolo.

Per gradi

Il gioco può comporsi di tante sfide, di ordine crescente di difficoltà.

Per prendere dimestichezza col gioco, possiamo iniziare la prima sfida solo con una carta: quindi inizieremo con l’asso.

Il nostro piano di gioco con solo l’Asso…

Nella seconda sfida aggiungeremo un’altra carta, il due,

posizionandola sotto l’asso.

Poi, nella sfida successiva aggiungeremo il tre,

…con aggiunto anche il tre…

posizionandolo sotto il due, e man mano tutte le carte fino ad arrivare all’otto

… e con tutte e 8 le carte

Alcune domande possono rendere il gioco più interessante sotto il profilo didattico, per farne un’ottimo strumento di matematica ludica:

• trovare il numero di mosse minimo da fare;
• contare quante volte si sposta la carta più grande della pila, man mano che aumentano le carte;
• contare quanti spostamenti fa l’asso, man mano che aumentano le carte;
• prevedere quante mosse ci vorranno con un numero maggiore di carte;
• trovare una formula matematica che ci permetta di scoprire il numero di mosse conoscendo il numero delle carte a disposizione.

Varianti e Serata gioco

E’ possibile giocare da soli, come semplice solitario, o a coppie, in competizione, con vincitore il più veloce. Una variante a squadre, per una serata gioco o un party, può prevedere di posizionare i 3 punti su tavoli diversi e/o in stanze diverse, giocando in una staffetta a squadre. Ogni giocatore di una squadra parte a spostare una carta quando il giocatore precedente della propria squadra ha terminato, e si rimette in fila in attesa del proprio turno. Ovviamente vincerà la squadra più veloce.
Un’ultima curiosità: il numero di mosse necessarie ai monaci di Hanoi per completare il loro lavoro è di almeno 18.446.744.073.709.551.614. Se impiegassero un secondo per fare una mossa, quanti anni ci vorrebbero per terminare il lavoro?

Francesco Attanasio

Bibliografia

Come buttarsi dalla Torre di Hanoi di Martin Gardner

Sitografia

La biografia di Lucas, con la presentazione del suo metodo per la ricerca dei numeri primi:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Lucas.html

Un’accurata presentazione del gioco:
http://cut-the-knot.com/recurrence/hanoi.html

Il testo, in inglese, della presentazione originale, fatta da Lucas, della Torre di Hanoi:
http://www.cs.wm.edu/~pkstoc/toh.html

https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Hanoi/Hanoi.htm

https://it.wikipedia.org/wiki/Torre_di_Hanoi

https://it.goobix.com/giochi-online/torri-di-hanoi/