La Tavola Pitagorica della Macchina della Matematica durante un laboratorio itinerante
La Tavola Pitagorica è una tabella ordinata di numeri naturali con eccezionali caratteristiche, ed è, soprattutto, un valido strumento della matematica ludica. Formata da righe orizzontali e colonne verticali, ogni elemento della tavola è il risultato del prodotto fra il valore in alto nella colonna corrispondente per il valore a sinistra della riga corrispondente. Usando un linguaggio tecnico, possiamo definirla una “tabella di Cayley“, detta anche tavola di composizione, ovvero una tabella a doppia entrata che descrive la struttura di un gruppo finito. La tabella, che deve il nome al matematico britannico Arthur Cayley, è infatti costituita da un dato gruppo (per noi le cifre da 1 a 10, definite ì e j in riga e colonna) e un’operazione binaria (la moltiplicazione nel nostro caso): per ogni coppia di elementi del gruppo, l’intersezione della riga i e della colonna j (in cui sono riportati gli elementi del gruppo) contiene il risultato del prodotto ixj.
Un errore di trascrizione
In uso già nel Medioevo, la Tavola Pitagorica non deve il suo nome né a Pitagora né ad alcuno dei suoi seguaci, bensì soltanto ad un errore di trascrizione. Pare, infatti, che nel riprodurre il manoscritto dell’Ars Geometrica, un’opera medievale risalente al secolo XI dove era contenuta la “mensa pythagorea“, il copista, piuttosto sbadato e sicuramente non avvezzo alla matematica, sostituì l’abaco neopitagorico con una comune tavola di moltiplicazione in uso, di aspetto assai simile, conservando però per quest’ultima il nome di Tavola Pitagorica.
Ma che la chiamiamo Tavola Pitagorica o tavola delle moltiplicazione, per tutti resterà sempre la tavola delle tabelline. Immancabile nei quaderni di matematica di qualche anno fa, rappresentava un promemoria per gli studenti, poiché contiene tutte le tabelline dall’1 al 10. Quello che forse non tutti sanno è che dentro questa tabella ci sono proprietà matematiche molto importanti, alcune davvero sorprendenti, che la rendono un valido strumento per l’insegnamento della matematica.
Un prodotto interscambiabile
Fig.2 Il prodotto di 5×8
Iniziamo col dire che quelle che noi chiamiamo tabelline altro non sono che le righe orizzontali (da sinistra a destra) e le colonne verticali (dall’alto in basso) della Tavola: per esempio, la quarta riga (o la quarta colonna) è detta tabellina del quattro, la quinta del cinque e così via. Notiamo subito che molti numeri si ripetono nella tabella ed il perché è da ricercarsi nella proprietà commutativa della moltiplicazione. Per questo motivo possiamo definire la Tavola Pitagorica una matrice simmetrica (in quanto è possibile invertire l’ordine dei fattori senza cambiare il risultato) di numeri naturali. Quindi per ottenere il prodotto di due numeri, per esempio 5×8, basta intersecare la linea che contiene il 5, posto sulla colonna più a sinistra con quella dell’ 8, posto sulla riga superiore, che avrà lo stesso risultato dell’8×5.
Prodotti con più cifre
Fig.3 Prodotto a due cifre
Con la Tavola Pitagorica è possibile risolvere anche le moltiplicazioni a due e tre cifre. Vediamo con un semplice esempio come fare: 8×47. Dalla tabella vediamo che 8×4 fa 32 e 8×7 fa 56: il risultato sarà composto dall’ultima cifra data dal numero della cella che interseca l’8 con il 7, nel nostro caso 6; la seconda cifra sarà uguale alla somma tra l’ultima cifra della cella che interseca il 8 con il 4 (2) con la prima cifra della cella che interseca l’8 con il 7 (5), quindi nel nostro caso 7. Se tale numero dovesse superare dieci, si prende solo l’unità e si aumenta di uno la prima cifra di sinistra del prodotto finale; la prima cifra sarà ottenuta dal primo numero della cella che interseca l’8 con il 4. Quindi, il nostro risultato sarà uguale a 3 (2+5) 6, ovvero 376, come è visibile in figura 3.
Fig.4 Prodotto a tre cifre
Il ragionamento è molto simile con i prodotti a tre cifre. Vediamolo in un esempio: 6×235. Dalla tabella notiamo che 6×2 fa 12, 6×3 fa 18, 6×5 fa 30. Per l’ultima cifra si prende l’ultimo numero della cella che interseca il 6 con l’5, nel nostro caso 0; per la terza cifra si somma il secondo numero della cella che interseca il 6 e il 3 (8) con il primo numero della cella che interseca il 6 con il 5 (3). Se tale numero dovesse superare dieci, si prende solo l’unità e si aumenta di uno la seconda cifra di sinistra del prodotto finale, nel nostro caso 8+3=1; per la seconda cifra si somma il secondo numero della cella che interseca il 6 e il 2 (2) con il primo numero della cella che interseca il 6 con il 3 (1). Se tale numero dovesse superare dieci, si prende solo l’unità e si aumenta di uno la prima cifra di sinistra del prodotto finale, nel nostro caso 2+1=3 +1 del passaggio precedente =4; per la prima cifra si prende il primo numero della cella che interseca il 6 con il 2, nel nostro caso 1; Il prodotto finale, dunque, è 1 (2+1) (8+3) 0, ovvero 1410, come è visibile in figura 4. A questo punto è lecito chiedersi: è possibile risolvere moltiplicazioni a più cifre?
La mia proposta
Ed ora proviamo a fare un gioco semplice, sfruttando queste proprietà.
Occorrente per 2 giocatori: quattro tavole pitagoriche (stampate o realizzate a mano, non fa differenza), 2 penne o matite.
Fig.5 La battaglia navale in Tavola
In questa variante della battaglia navale i due giocatori hanno una variabile in più nella ricerca della nave nemica. Ogni giocatore deve possedere una tavola dove segnare le proprie navi e una dove segnera quelle dell’avversario. Preparazione: ogni giocatore inserisce una nave all’interno della griglia, lunga 4 caselle adiacenti. Quindi si procede all’attacco: ogni giocatore, a turno, indica un numero nella tavola, nominando due fattori che lo compongono, per esempio 3×4 indicherà tutti i 12 del tabellone. Se l’avversario dirà “colpito”, allora bisognerà segnare tutte le caselle 12 con un puntino (io l’ho segnato in grigio); nel caso in cui l’avversario dirà “acqua”, allora bisognerà barrare le caselle 12 con una X. Se è stata colpita la nave, bisognerà comprendere quale fra le caselle del tabellone sarà quella che realmente conterrà la nave nemica. Quindi il gioco passa all’avversario. Vince chi riesce ad abbattere per primo la nave avversaria. In figura 5 i valori 72 e 36 sono “acqua” e segnati con una X, i 12 sono “colpito” in grigio, in quanto la nave nemica si trova in 12-18-24-30.
Uno specchio quadrato
Fig.6 La Tavola Pitagorica ridotta
La presenza di tanti numeri che si ripetono ci porta a scoprire un’altra caratteristica della Tavola: tracciando una diagonale dal vertice in alto a sinistra fino a quello in basso a destra, otterremo due parti perfettamente speculari, che contengono gli stessi numeri. Questa caratteristica, utilizzata in particolare negli studi orientali di matematica, permette di dimezzare lo sforzo mentale di ricordare tutti i numeri della tabella. Nella tavola ridotta, presente in figura 6, la diagonale, evidenziata in giallo, ha diviso la nostra tavola quadrata in due triangoli rettangoli isosceli, in un’interessante simmetria, spunto di approfondimento (come sono disposti i numeri da una parte e dall’altra della linea?). Quando ci si trova di fronte ad una moltiplicazione fra due fattori, bisognerà cercare il maggiore sulla prima colonna a sinistra e il minore sulla prima riga in alto. Tale attività è basata su un indubitabile “risparmio di memoria” attraverso l’eliminazione di tutte le ridondanze che caratterizzano la nostra Tavola Pitagorica, alleggerendola proprio nelle tabelline considerate spesso più ostiche. Inoltre permette di sfruttare la naturale propensione dello studente all’utilizzo della proprietà commutativa.
Fig.7 I quadrati nella Tavola
La suddetta diagonale di simmetria non è formata da numeri casuali, ma da tutti numeri quadrati. Tali numeri sono il prodotto dello stesso valore sia nella riga che nella colonna. E le sorprese non finiscono certo qui. Evidenziando i quadrati di lato rispettivamente 1, 2, 3, ecc. i numeri sulla diagonale ne rappresentano l’area, come è ben visibile in figura. Da qui scopriamo un’importante proprietà dei numeri quadrati: condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché un numero sia un quadrato, è che termini con 1, 4, 5, 6, 9, 0. Quindi, qualsiasi numero quadrato dovrà sempre finire per uno di questi numeri: provare per credere. Ma perché?
Magia con i numeri
Fig.8 Mentalismo matematico in Tavola
E con i quadrati possiamo andare ancora oltre, fino a spingerci ai limiti della magia. Faremo un piccolo gioco di mentalismo matematico: disegnate un qualsiasi quadrato sulla Tavola Pitagorica che abbia il lato composto da un numero dispari di caselle. Segnate su un foglio il valore del numero al centro di tale quadrato e conservatelo. Bene. Osservate il vostro quadrato e sommate tutti e quattro i numeri ai vertici di questo quadrato. Ora prevedo che il risultato ottenuto sarà sicuramente divisibile per quattro. Poco male, direte voi. Ma, se eseguite la divisione otterrete, proprio il numero al centro, che avete segnato sul foglio! Ma non finisce qui: osservate il numero a destra e a sinistra del numero al centro, e sommateli. Annotate il risultato. Osservate il numero sopra e sotto al numero al centro: il risultato sarà sempre lo stesso, e sarà assolutamente uguale al doppio del numero che avrete segnato sul foglio! Per esempio, in figura 8, il quadrato di vertici 12, 24, 28, 56, il cui lato misura 5 caselle. Sommando i suoi vertici (12+24+28+56) il risultato è uguale a 120. Dividendo 120 per 4, otterremo 30, che è proprio il numero al centro del quadrato. Sommando 24+36 il risultato sarà uguale a 25+35, che è proprio il doppio di 30, ovvero 60. Ma come mai accade ciò?
La divisione in Tavola
Fig.9 La divisione con e senza resto in Tavola
Fra le proprietà della Tavola Pitagorica, non possiamo dimenticare quelle per effettuare la divisione, sia con resto che senza. Per farlo, utilizzeremo la tabella in maniera speculare rispetto a quanto fatto per le moltiplicazioni. Per esempio se vogliamo ottenere 36:4, andremo a cercare il 36 nella riga del 4 e cercheremo il numero presente in cima alla colonna corrispondente, nel nostro caso il 9. Se invece la divisione avrà un resto diverso da 0, per esempio 47:7, procederemo come segue: dal momento che il divisore è 7, focalizzeremo la nostra attenzione esclusivamente sulla settima riga. Cerchiamo, pertanto, il numero non superiore al 47, procedendo da sinistra verso destra, nel nostro caso 42. La colonna su cui ci si ferma corrisponde al quoziente, mentre il resto è dato dalla differenza tra il contenuto della cella di destinazione e il dividendo. La figura 9 mostra tale operazione di divisione, nella quale il quoziente è 7 (7ª colonna) e il resto è 5 (47-42).
Pari e dispari
Fig.10 I numeri pari della Tavola
Una Tavola, quella Pitagorica, ricca di misteriose proprietà, in cui le sorprese si alternano alle cifre, come i numeri pari si alternano a quelli dispari. Ma saranno più i numeri pari o quelli dispari in una Tavola Pitagorica di lato 10? Per poter rispondere potremmo fare una colorata attività: scegliamo un pastello o un pennarello e coloriamo tutte le colonne e le righe che abbiano come primo numero un numero pari. Osservando la figura 10 potremo rispondere rapidamente.
Multipli a colori
Fig.11 I multipli di 3 nella Tavola
Fig.12 Multipli di 2 e 3
Lo stesso metodo può essere utilizzato per individuare i numeri multipli. Con un colore, il giallo nel nostro caso, possiamo evidenziare tutti i numeri multipli di 2 (gli stessi dei numeri pari): individuiamo tutti i numeri presenti nella colonna (tabellina) del 2 e ricerchiamoli in alto nella prima riga. Quindi coloriamo tutte le colonne e le righe che inizino con i suddetti numeri, come in figura 10. Con un altro colore, l’azzurro nel nostro caso, possiamo evidenziare tutti i numeri multipli di 3: cerchiamo tutti i numeri nella colonna (tabellina) del 3. Quindi coloriamo tutte le colonne e le righe che inizino con i suddetti numeri, come in figura 11. Incrociando le due tabelle, o colorando lo stesso foglio, otterremo i numeri che sono sia multipli del 2 che del 3, in verde nel nostro caso, dato dalla mescolanza del giallo con l’azzurro, ben visibile in figura 12.
Fig.13 m.c.m. in Tavola
Ora proviamo a spingerci oltre: osserviamo due colonne diverse, la 2 e la 3, in figura 13. Esistono numeri presenti in entrambe le colonne? Beh, appare evidente che il 6, il 12, il 18 siano presenti sia in quella del 2 che del 3. Infatti, questi numeri soddisfano contemporaneamente la condizione di essere multipli del 2 e quella del 3. Se la nostra tabella non fosse di soli 10 numeri per lato ma molti di più, potremmo ottenere tanti altri numeri comuni alle due colonne. Il primo e, quindi, il minore di tutti questi numeri sarà il 6. Questa proprietà, che noi tutti chiamiamo tecnicamente minimo comune multiplo, è ben evidenziabile nella figura 13. Quindi il m.c.m. fra 2 e 3 è 6. La Tavola Pitagorica ci permette di trovare tutti i possibili m.c.m., semplicemente individuando il primo comune nelle colonne corrispondenti.
Divisori sulle righe
Fig.14 M.C.D. in Tavola
Ragionamento analogo, ma inverso, si esegue per individuare i divisori di un numero: per esempio del 9. Per farlo è sufficiente verificare la presenza del numero nelle righe corrispondenti. Il 9 si trova nella riga 1, 3, e 9. Questi saranno i divisori del numero 9. Aumentando il numero di caselle del lato della nostra Tavola Pitagorica, potremo ottenere molti altri numeri, tutti strettamente collegati dalle regole suddette.
In particolare, se abbiamo due numeri, come 9 e 6 in figura 14, noteremo che avranno divisori comuni. Il 9, come abbiamo detto ha l’1, il 3 e il 9, mentre il 6 avrà l’1, il 2, il 3 ed il 6. Quindi l’1 resta un divisore comune (perché?), e il 3 è il divisore maggiore comune ad entrambi. Anche questo valore ha un nome che tutti noi conosciamo: massimo comune divisore. Il 3, perciò sarà il M.C.D. fra 9 e 6. Con lo stesso metodo è possibile individuare tutti i possibili M.C.D. fra due numeri, ingrandendo opportunamente la tabella. E per più di due numeri cambia qualcosa?
PS I numeri della Tavola Pitagorica di lato 10 sono in tutto 100, dove 100 è il numero più grande e 1 è quello più piccolo. Ci sono 23 numeri di una sola cifra, 76 numeri con due cifre ed un numero solo di tre cifre, il 100. Quante volte scriverò la cifra 7 per poter ottenere tutta la tabella?
Francesco Attanasio
Sitografia
http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/tav2pit.htm
https://www.youmath.it/scuola-primaria/matematica-scuola-primaria/seconda-elementare/3143-tavola-pitagorica.html
https://ilpiccolofriedrich.blogspot.com/2018/05/tavola-pitagoricagigante.html
Bibliografia
Proprietà della tavola periodica di Luca Nicotra
Matematica per comuni mortali di Ennio Peres
Voglia di calcolare: breve storia degli strumenti di Luca Nicotra
La Tavola Periodica: un falso storico di Annalisa Santi
La tavola pitagorica: un falso storico dimenticato di Luca Nicotra
I segreti della Tavola Pitagorica di Giovanni Di Maria